La matemáticas de los terremotos

DATOS BÁSICOS

Amenaza Asociada	Terremotos, Tsunamis
Curso	2° Medio
Ámbito/ Asignatura	Ciencias Naturales
Núcleo/ Eje	Números
Objetivo curricular	MA 2M OA 2: Mostrar que comprenden las relaciones entre potencias, raíces enésimas y logaritmos: (1) Comparando representaciones de potencias de exponente racional con raíces enésimas en la recta numérica. (2) Convirtiendo raíces enésimas a potencias de exponente racional y viceversa. (3) Describiendo la relación entre potencias y logaritmos. (4) Resolviendo problemas rutinarios y no rutinarios que involucren potencias, logaritmos y raíces enésimas.
Tiempo estimado de la actividad	4 horas académicas
Desarrollado por	Victoria Arenas Gómez* para Itrend *Geóloga, licenciada en Geología de la Universidad Católica de Temuco

INTRODUCCIÓN

Para poder comprender esto, es necesario saber que tras un terremoto no solo hay un movimiento de tierra, sino que este remezón envía una señal a los sismógrafos, aparatos que se encargan de registrar la vibración de tierra durante el remezón. Los datos medidos resultan ser fundamentales para poder estimar la magnitud del movimiento telúrico con una ecuación que contiene funciones logarítmicas en su cálculo. 

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

El día 23 de enero del año 2007 se registró el primero de muchos movimientos telúricos en la región de Aysén, el que tuvo una magnitud 5.2 Mw. Los sismos continuaron hasta principios de mayo, llegando a registrarse cerca de 7.000 eventos; sin embargo, el día 21 de abril de ese mismo año a las 17:53, un terremoto magnitud 6.2 Mw azotó la zona (Figura 1), siendo el que alcanzó el mayor tamaño de toda esta seguidilla de sismos, donde la mayoría de ellos no superó los 3,0 ML en la escala de Richter. El evento del 21 de abril causó un tsunami muy particular en el fiordo Aysén, que se generó a raíz de deslizamientos de tierra. Este provocó olas de más de 6 metros, produciendo daños en la infraestructura, la destrucción de salmoneras, la desaparición de pobladores y la muerte de 10 personas.

Figura 1:  Mapa de ubicación del epicentro del terremoto del día 21 de abril de 2007

Para saber que tan grande fue el sismo del 21 de abril en comparación a los eventos del “enjambre sísmico” o seguidilla de temblores que ocurrió en la zona, es necesario revisar la matemática que hay tras los terremotos, la cual fue propuesta por Charles Richter en 1958, quién estableció una fórmula para calcular el tamaño relativo de un terremoto local (ML) a partir de un registro sísmico. Este sistema de medición considera la amplitud de onda (A), valor que queda registrado en un sismógrafo y se define como la distancia desde el punto medio al más alejado de una onda (Figura 2), además de la distancia epicentral (A0), que corresponde a la lejanía existente entre la estación y el epicentro del sismo o su ubicación en superficie con respecto al hipocentro. 

Figura 2: Esquema de representación de la llegada de la onda primaria (onda P) y secundaria (onda S)

Richter implementó una escala logarítmica para cuantificar la magnitud del sismo (Ecuación 1). Según las propiedades de los logaritmos, de ella se puede inferir que al no poseer base, se asume que ese valor es 10, por lo que la amplitud de onda generada aumenta 10 veces, en lo que en la escala de Richter el incremento será 1 (Figura 3). Siguiendo con las propiedades, al ver que la ecuación corresponde a una resta, esta se convierte en una división, por lo que la magnitud es adimensional, por tanto es incorrecto señalar que se mide en grados. 

ML = log A(Δ) – log A0(Δ)       (Ecuación 1)

Para recordar las propiedades de los logaritmos, te invitamos a ver el siguiente video titulado: Propiedades de los logaritmos

Figura 3: Diagrama que ejemplifica la magnitud de Richter, en ella se puede ver que un terremoto 7.0 será 10 veces más grande que uno 6.0.

Como bien vemos, tras los terremotos se encuentran funciones logarítmicas, las que además son primas de las raíces cuadradas y potencias, por lo que resulta fundamental recordar la relación que existe entre estas tres funciones matemáticas:

Por otra parte, no se debe olvidar la energía que libera un sismo, la que también está calculada con funciones logarítmicas (Ecuación 2). Al igual que las magnitudes, su aumento no es lineal, incrementando 32 veces mientras el aumento en la escala es 1 (Figura 4).

Log ES = 1.5M + 11.8             (Ecuación 2)

 

Figura 4: Representación de la energía liberada en distintos terremotos que han ocurrido en el mundo. 

Si bien, la fórmula propuesta por Richter ha sido de gran utilidad para la estimación de la magnitud de terremotos, los avances tecnológicos y las constantes investigaciones han permitido mejorar el método de estimación de magnitud. A partir de esto se creó la escala de magnitud de momento (Mw), con la que se pudo llegar a valores mucho más precisos, especialmente para sismos de gran tamaño.

Poco hemos escuchado de movimiento telúricos en el extremo sur de nuestro país, sin embargo, este evento nos permite ver que no son la excepción, por lo que resulta importante entender los terremotos, más aún cuando estos forman parte del ADN de las chilenas y chilenos, sin importar la ubicación geográfica, como se puede ejemplificar con el remezón que azotó la ciudad de Aysén en el año 2007. Si bien los movimientos de tierra son menores en el sur de nuestro país, es relevante estar consciente de las amenazas asociadas a ellos, para así reducir su impacto en las personas e infraestructura. El terremoto del 21 de abril del 2007 quedará en la memoria de todos los habitantes de la zona, ya que fue el último gran remezón que vivió el extremo sur de nuestro país, donde a causa de los deslizamientos se generaron daños, como se puede ver en el video titulado: terremoto Aysén 2007.

ACTIVIDAD

Es importante que entiendas la relación que existe entre las matemáticas y los terremotos, para eso te invitamos a realizar la siguiente actividad, en ella aplicamos el concepto de logaritmo y magnitud en distintos eventos sísmicos. 

• ¿Cuánto aumenta la amplitud de onda de un sismo si el incremento en la escala es de una unidad?
• ¿Cuánto más grande es un terremoto magnitud 5.0 que uno 8.0?
• Calcula la cantidad de energía que liberan los siguientes terremotos:

A)8x=64 B) log (10000) C) 20736

• Un sismógrafo registra una amplitud 1.500 veces más grande que A0 ¿Qué magnitud en la escala de Richter tuvo el terremoto? Después de dos días registró el doble de la amplitud ¿Qué magnitud en la escala de Richter tuvo este segundo sismo? ¿Cuánto más grande es el segundo sismo?
• En la figura 5 se observa una gráfica de cómo se puede determinar la magnitud de Richter de un terremoto. En ella se ven 4 sismos, a partir de cada línea, determina la distancia entre la onda S-P, la amplitud de onda y la magnitud. 

Figura 5:  Gráfica que permite cuantificar la magnitud de Richter (extraída de Tarbuck et al., 2005)

REFERENCIAS 

1. Easton, G. (2020). Terremoto de Aysén de 2007, fallas corticales y la urgencia de mejoras normativas. La Tercera Recuperado de ENLACE.
2. Gutiérrez Ormazábal, M. F. (2021) Análisis de la sismicidad en la zona de falla Liquiñe-Ofqui entre los 43°S – 46°S.
3. Tarbuck, E. J., Lutgens, F. K., Tasa, D., & Científicas, A. T. (2005). Ciencias de la Tierra (Vol. 1). Madrid, España: Pearson Educación. 
4. Vidal, J. (2013). ¿Cuál es la escala de magnitud de Richter?. Ciencia y desarrollo. CICESE.

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